“比的应用”,比和分数、除法关系密切,解答题的综合性较强,有些题目可不简单哦。

“比的应用”专题考点及常考类型,并结合经典例题,帮同学们总结了高效的解题办法,还有配套考点变式练习,建议下载原文件打印出来辅助学习提升。

常考知识点1:比的基本应用

按比分配:在工农业生产中和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比分配。

常考类型:

1. 已知总量和比

2. 已知部分量和比

3. 已知相差量和比

解题方法:

①按比分配:把比看作分成的份数,先求出每份是多少,再乘所求量的对应份数。

②转化成分率计算:用总量乘各部分的分率求出各部分的数量(常用于类型1)。

经典例题·牛师点拨

【例1-1】今年我市小学五年级举行学科素质竞赛,获奖人数为360名,一、二、三等奖的人数比是1:2:3。获二等奖的有( )人。

【答案】120

【解析】本题属于“已知总量和比”的题目类型,可以有两种解题方法。

解法一:把比看作份数,获奖人数360人被平均分成了1+2+3=6(份),那么1份是360÷6=60(人),二等奖占其中的2份,所以获二等奖的人数有60×2=120(人);

解法二:转化成分率计算,把获奖人数看为单位“1”,总份数是1+2+3=6(份),二等奖占了其中的2份,根据部分量=单位“1”的量×分率,获二等奖的人数有:

【例1-2】大小齿轮齿数的比是5:3,小齿轮有15个齿,大齿轮有( )个齿。

【答案】25

【解析】本题属于“已知部分量和比”题型,用按比分配的方法求出一份量,进而求出大齿轮的齿数。根据“大小齿轮齿数的比是5:3,把大齿轮的齿数看作5份,小齿轮的齿数看作3份,3份是15个齿,由此求出一份的齿数,进而求出大齿轮的齿数。15÷3=5(个),5×5=25(个)。

【例1-3】蔬菜批发站把一批菜按4:5:3的比卖给甲、乙、丙三个餐厅,丙餐厅比乙餐厅少买60千克,这批菜一共有( )。

A. 300千克 B. 603千克

C. 360千克 D. 306千克

【答案】C

【解析】由题意得:乙餐厅批发了5份,丙餐厅批发了3份,丙餐厅比乙餐厅少批发了5-3=2(份),即60千克,用60千克除以2即可求出一份的重量,再乘三个餐厅批发的总份数(4+5+3)份,即可计算出蔬菜的总重量。60÷2=30(千克),30×(4+5+3)=30×12=360(千克)。故选C。

考点变式练习

【变1-1】甲、乙两个数的和是300,甲、乙两数的比是5:7,甲数是( )。

A. 120 B. 125 C. 175 D. 180

【变1-2】一个长方形宽与长的比是2:3,如果这个长方形的宽是12厘米,长是 厘米;如果长是12厘米,宽是 厘米。

【变1-3】某化工厂第一、二、三车间人数的比为8:12:21,第一车间人数比第二车间人数少80人,三个车间各有多少人?

【变1-4】一批儿童读物,按3:4分给甲、乙两个班。分完后发现,乙班比甲班多分得30本。这批儿童读物有多少本?

常考知识点2:抓不变量化通比

题目中有时会出现两个比,不变量对应的份数不同,需要先抓不变量化通比后按比分配。

常考类型:1. 已知甲:乙=a:b,乙:丙=c:d,乙的数量不变,知道部分量或总量,求其他的量。

2. 原来甲:乙=a:b,变化后甲:乙=c:d,知道变化量,部分量或总量不变,求其他的量。

解题方法:①找到不变量,将不变量转化为相同的份数(两项的最小公倍数),运用比的基本性质化通比(常用于类型1)。

②找到不变量,把不变量当作单位“1”,把比转化为分数,根据分数除法的意义解答(常用于类型2)。

经典例题·牛师点拨

【例2-1】盒子里有三种颜色的球,黄球个数与红球个数的比是2:3,红球个数与白球个数的比是4:5。已知三种颜色的球共175个,红球有多少个?

【答案】黄、红球之比=2:3=(2×4):(3×4)=8:12

红、白球之比=4:5=(4×3):(5×3)=12:15

所以黄球:红球:白球=8:12:15

8+12+15=35

175÷35=5(个)

5×12=60(个)

答:红球有60个。

【解析】本题属于“抓不变量化通比”的类型1,关键是推出黄、红、白球之比,找准对应量,算出一份是多少后再求红球的数量。

根据“黄球个数与红球个数的比是2:3,红球个数与白球个数的比是4:5”,不变的中间量是红球数量,所以找到红球份数3和4的最小公倍数12,将两个比中的红球份数转化为12,根据比的基本性质,得到黄球:红球:白球=8:12:15,三种球的总份数是8+12+15=35(份),共175个球,所以每一份是175÷35=5(个),红球有12份,所以红球个数是5×12=60(个)。

【例2-2】一杯糖水中糖和水的质量比是3:50,再加入20克糖后,糖和水的质量比变成4:25,原来这杯糖水中有糖和水各多少克?

【答案】原来的糖有12克,水有200克。

解法一:原来糖和水的质量比是3:50=3:50,后来糖和水的质量比是4:25=8:50。所以加了20g糖后,糖的份数由3份变成了8份,

一份量:20÷(8-3)=4(克)

原来的糖:4×3=12(克)

原来的水:4×50=200(克)

答:原来的糖有12克,水有200克。

【解析】

解法一:抓不变量化通比,水是不变量,所以统一水的份数,50和25的最小公倍数是50,由此化通比,糖的变化份数是8-3=5(份),加了20克糖,所以每一份是20÷(8-3)=4(克),原来糖有3份,水有50份,从而求出原来的糖和水的质量。

考点变式练习

【变2-1】甲数和乙数的比是5:6,乙数和丙数的比是3:2,则甲数和丙数的比是( )。

A. 5:2 B. 5:4 C. 4:5

【变2-2】某工厂有三个车间,甲车间和乙车间人数的比是4:5,乙车间和丙车间人数的比是10:9,已知丙车间有54人,甲车间和乙车间各有多少人?( )。

A. 甲车间有50人,乙车间有62人

B. 甲车间有48人,乙车间有60人

C. 甲车间有45人,乙车间有57人

D. 甲车间有40人,乙车间有52人

【变2-3】小红、小刚和小华三人收集邮票,小红收集的邮票数和小刚的比是2:3,小刚收集的邮票数和小华的比是4:7,三人共收集82枚,三人各收集多少枚?

【变2-4】小明读一本书,已读和未读的页数比为1:5,如果再读30页,则已读和未读的页数之比为3:5,求这本书共多少页?

比的应用(全真题)

一、填一填。

1、 3:5 = ( )÷( )= 18:( ) =6÷( )

2、一个直角三角形两个锐角度数的比是1∶2,则这两个锐角分别是( )和( )度。

3、女生人数占男生人数的5/6 ,则男生与女生人数的比是( ),男生占总人数的( )。

4、一个比的后项是8,比值是 34 ,这个比的前项是( )。

5、一段路,甲车用6小时走完,乙车用4小时走完,甲乙两车的速度比是( )。

6、把20克糖放入100克水中,糖与糖水的比是( )。

7、一箱苹果,吃了2/3 ,已吃了的和剩下的比是( ),比值是( )。

8、同一个圆半径与直径比是( ),比值是( )。

9、李明与王华身高的比是6:5,李明比王华高( ) ;王华比李明矮( )。

10、三角形的三个内角的度数比是1:1:2,如果按角分它是一个( )三角形。

11、同一个圆中,其周长与直径的比是( ),比值是( )。

12、大正方形和小正形边长的比是3:2,那么大正方形和小正方形面积的比是( )。

13、同一个圆中半径与其周长比是( ),比值是( )。

二、解决问题。

1、甲乙两地相距360千米,客车和货车同时从两地出发,相对而行,它们的速度比是5:4。相遇时两车各行驶了多少千米?

2、甲、乙两数的平均数是56,甲与乙的比是4:3,甲、乙各是多少?

3、甲乙两个工程队共修路360米,甲乙两队所修的长度比是5 :4,甲队比乙队多修了多少米?

4、有两堆货物。甲堆比乙堆多18吨。甲堆与乙堆重量的比是9:5,两堆货物各有多少吨?

5、配制一种消毒药,药液和水的比是1:50,要配制这种消毒药300千克,需要药液和水各多少千克?

6、配制一种消毒药,药液和水的比是1:50,现有药液300千克,需要加水多少千克?

7、配制一种消毒药,药液和水的比是1:50,现有水300千克,需要加药液多少千克?

8、甲乙两地相距450千米,客车和货车同时从两地出发,相对而行,3小时后相遇,它们的速度比是2:3。客车和货车速度各是多少千米?

9、一个长方形周长是96cm,长与宽的比是5:7。长方形面积是多少?

10、用120厘米的铁丝做一个长方体的框架。长、宽、高的比是3:2:1。这个长方体的长、宽、高分别是多少?体积是多少?

三、比和比的应用之奥数应用题

【例题一】一辆自行车每小时行12千米,一辆摩托车每行1千米比自行车少用3分钟,摩托车的速度是自行车速度的多少倍?

【例题二】甲和乙两个圆柱体容器,底面积之比为5:3,甲容器水深6cm,乙容器水深4cm,再往两个容器注人同样多的水,直到水深相等,这样乙容器的水面应上升多少厘米?

【例题三】有甲、乙两杯含盐量不同的盐水,甲杯盐水的质量为100克,乙杯盐水的质量为60克。现在从两杯中倒出等量的盐水,分别交换倒人两杯中,这时两杯新盐水的含盐量相等,从每杯倒出盐水多少克?

【例题四】甲、乙两班人数相同,甲班男生人数与女生人数的比是3:4,乙班男生人数与女生人数的比是4:5,求甲、乙两班总人数中男、女生人数的比是多少?

【例题五】师徒两人各加工同样多的零件,同时加工,当师傅完成任务时,徒弟还有30个没有完成,当徒弟完成任务时,师傅可以超额完成50个,这批零件总数共有多少个?

【例题六】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,当甲车到达B地时,乙车距A地10千米,当乙车到达A地时,甲车超过B地20千米,A、B两地相距多少千米?